Сколько различных коктейлей можно составить из 4 напитков смешивая их в равных количествах по 2

Задачи поиска хотя бы одного решения, хотя бы одного расположения объектов, обладающих заданным свойствами

— отыскание такого расположения десяти точек на пяти отрезках, при котором на каждом отрезке лежит по четыре точки;

— такого расположения восьми ферзей на шахматной доске, при котором они не бьют друг друга.

Иногда удаётся доказать, что данная задача не имеет решения

(например, нельзя расположить 10 шаров в 9 урнах так, что

бы в каждой урне было не более одного шара – хотя бы в

одной урне окажется не менее двух шаров).

в
оглавление

2. Второй уровень.

2. Второй уровень.

Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, описании всех решений данной задачи.

Решения данной комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает вопрос отыскания оптимального варианта решения такой задачи.

Например:

Путешественник хочет выехать из города А, посетить города В, С, и D. После чего вернуться в город А.

Правила суммы и произведения

• 1. Сколько различных коктейлей можно составить из четырёх напитков, смешивая их в равных количествах по два?

Do’stlaringiz bilan baham:

Источник: fayllar.org

Презентация «Элементы комбинаторики» 9 класс

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Получить код —>

Подписи к слайдам:

• Что такое комбинаторика?Какие задачи считают комбинаторными?
• Перестановки
• Размещения
• Сочетания

• Комбинаторика – радел математики, в котором рассматриваются задачи о подсчёте числа комбинаций составленных по определённым правилам.

• Комбинаторика – от латинского слова combinare, что означает «соединять, сочетать».
• Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономики и др. областях знания.
• Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.

• 3. Третий уровень. Решения данной комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает вопрос отыскания оптимального варианта решения такой задачи. Например:Путешественник хочет выехать из города А, посетить города В, С, и D. После чего вернуться в город А.

На рис. изображена схема путей, связывающих эти города. Различные варианты путешествий отличаются друг от друга порядком посещения городов В, С, и .D. Существует шесть вариантов путешествия. В таблице указаны варианты и длин каждого пути:

• Комбинаторные задачи на оптимизацию приходится решать мастеру, стремящемуся к быстрейшему выполнению задания, агроному, стремящемуся к наивысшей урожайности на данных полях, и т.д.

• Мы будем рассматривать лишь задачи о подсчёте числа решений комбинаторной задачи. Этот раздел комбинаторики, называемый теорией перечислений, тесно связан с теорией вероятностей.

• 1. Сколько различных коктейлей можно составить из четырёх напитков, смешивая их в равных количествах по два?
• AB, AC, AD, BC, BD, CD – всего 6 коктейлей
• 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ? Первой цифрой двузначного числа может одна из цифр 1, 2, 3 (цифра 0 не может быть первой). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть любая из цифр 0, 1, 2, 3. Т.к. каждой выбранной первой соответствует четыре способа выбора второй, то всего имеется 4 + 4 + 4 = 4·3 = 12 различных двузначных чисел.

• 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ? 4 + 4 + 4 = 4·3 = 12 различных двузначных чисел.
• Первая цифра вторая цифра
• 1
• 2
• 3

• Если элемент А можно выбрать из множества элементов п способами и для каждого такого выбора элемент В можно выбрать т способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать п·т способами.

Рп = 4· 3 ·2 ·1= 24 способа (перестановки из 4-х элементов)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

Р е ш е н о п е р е б о р о м в а р и а н т о в

II. Перестановки (1) К в а р т е т Проказница Мартышка, Осёл, Козёл Да косолапый Мишка Затеяли сыграть Квартет. ……………………………………………………. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. «Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. – Погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите»

4·3·2·1 = 4! способов

• Перестановкой из п — элементов называется комбинации, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов
• Рп- число перестановок (Р первая буква французского слова permutation- перестановка)Рп= n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·(n-4)·. . .·3 ·2 ·1= n!Рп = n!

В математике принято считать 0! =1 и 1! = 1

• Четыре попутчик решили обменяться визитными карточками. Сколько всего карточек при этом было использовано? получилось 12 карточек. Каждый из четырёх попутчиков вручил визитку каждому из трёх попутчиков 4 · 3 = 12

Комбинации, составленные из k элементов, взятых из n элементов, и отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов, называются размещениями из n элементов по k (0 < k ≤n).

— размещение из n элементов по k элементов. А первая буква

французского слова arrangement : «размещение»,

«приведение в порядок»

• Пуст имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В пустые ячейки можно по разному разместить три шара из этого набора.
• Выбирая по-разному первый, второй и третий шары, будем получать различные упорядоченные тройки шаров
• Каждая упорядоченная тройка, которую можно составить из четырёх элементов называется размещениемиз четырёх элементов по три

• Сколько же размещений можно составить из 4-х элементов (abcd) по три?
• abc abd acb acd adb adc
• bac bad bca bcd bda bdc
• cab cad cba cbd cda cdb
• dab dac dba dbc dca dcb

Р е ш е н о п е р е б о р о м в а р и а н т о в

• Можно решить и не выписывая самих размещений:
• первый элемент можно выбрать четырьмя способами, так им может быть любой элемент из четырёх;
• для каждого первого второй можно выбрать тремя способами;
• для каждых первых двух можно двумя способами выбрать третийэлемент из двух оставшихся. Получаем

Решено с использованием п р а в и л а у м н о ж е ни я

• Сочетанием из п элементов по k называют любое множество, составленное из k элементов, выбранных из п элементов

В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значение порядок элементов. Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом

Р е ш и з а д а ч и: 1. На плоскости отмечено 5 точек. Сколько получится отрезков, если соединить точки попарно?

2. На окружности отмечено п точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

• В.Ф.Бутузов, Ю.М.Колягин, Г.Л. Луканкин, Э.Г.Позняк и др. «Математика» учебное пособие для 11кл общеобразовательных учреждений /рекомендовано Министерством образования РФ/ М., Просвещение, 1996.
• Е.А. Бунимович, В.А. Булычёв: «Вероятность и статистика», пособие для общеобразовательных учебных заведений 5 – 9 классы / допущено Министерством образования Российской Федерации // Дрофа Москва 2002
• Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей 7 – 9 классы» Под редакцией С.А.Теляковского М: Просвещение , 2006 г
• Треугольнички http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif

Остальные рисунки созданы Грязновой А.К.

Источник: uchitelya.com

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Комбинаторика – радел математики, в котором рассматриваются задачи о подсчёте числа комбинаций составленных по определённым правилам. Задачи подсчёта числа комбинаций из конечного числа элементов Комбинаторика – от латинского слова combinare, что означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономики и др. областях знания. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.

Элементы комбинаторики.pptx

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Элементы комбинаторики 9 ­11 классы, МКОУ Кармаклинская СОШ учитель Бойкова А.В. 1

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Основные вопросы: I. Что такое комбинаторика? Какие задачи считают комбинаторными? II. Перестановки III. Размещения IV. Сочетания 2

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Не будем спорить — будем вычислять. Г. Л е й б н и ц • Комбинаторика – радел математики, в котором рассматриваются задачи о подсчёте числа комбинаций составленных по определённым правилам. 3

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

II. Какие задачи считают комбинаторными? Комбинаторные задачи Задачи подсчёта числа комбинаций из конечного числа элементов • Комбинаторика – от латинского слова combinare, что означает «соединять, сочетать». • Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономики и др. областях знания. • Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях. 4

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

I. Уровни решения комбинаторных задач 1. Начальный уровень. Задачи поиска хотя бы одного решения, хотя бы одного расположения объектов, обладающих заданным свойствами ­ отыскание такого расположения десяти точек на пяти отрезках, при котором на каждом отрезке лежит по четыре точки; ­ такого расположения восьми ферзей на шахматной доске, при котором они не бьют друг друга. Иногда удаётся доказать, что данная задача не имеет решения (например, нельзя расположить 10 шаров в 9 урнах так, что бы в каждой урне было не более одного шара – хотя бы в одной урне окажется не менее двух шаров). 5

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

2. Второй уровень. Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, описании всех решений данной задачи. • 3. Третий уровень. Решения данной комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает вопрос отыскания оптимального варианта решения такой задачи. Например: Путешественник хочет выехать из города А, посетить города В, С, и D. После чего вернуться в город А. 6

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

• Комбинаторные задачи на оптимизацию приходится решать мастеру, стремящемуся к быстрейшему выполнению задания, агроному, стремящемуся к наивысшей урожайности на данных полях, и т.д. 8

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

• Мы будем рассматривать лишь задачи о подсчёте числа решений комбинаторной задачи. Этот раздел комбинаторики, называемый теорией перечислений, тесно связан с теорией вероятностей. 9

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Правила суммы и произведения • 1. Сколько различных коктейлей можно составить из четырёх напитков, смешивая их в равных количествах по два? AB, AC, AD, BC, BD, CD – всего 6 коктейлей А В • D С • 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ? Первой цифрой двузначного числа может одна из цифр 1, 2, 3 (цифра 0 не может быть первой). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть любая из цифр 0, 1, 2, 3. Т.к. каждой выбранной первой соответствует четыре способа выбора второй, то всего имеется 4 + 4 + 4 = 4∙3 = 12 различных двузначных чисел. 10

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

• 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ? 4 + 4 + 4 = 43 = 12 различных двузначных чисел. • Первая цифра вторая цифра • • • 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 11

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

«Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило суммы, правило умножения». 1. Сколькими способами могут быть расставлены 4 участниц финального забега на четырёх беговых дорожках? Рп = 4∙ 3 ∙2 ∙1= 24 способа (перестановки из 4­х элементов) 1 2 3 4 1 дорожка 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 2 доржка 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 3 1 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2 3доржка 4 3 4 2 3 2 4 3 4 1 1 3 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1 4 дор. Р е ш е н о п е р е б о р о м в а р и а н т о в 13

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

II. Перестановки (1) К в а р т е т Проказница Мартышка, Осёл, Козёл Да косолапый Мишка Затеяли сыграть Квартет. ……………………………………………………. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. «Стой, братцы, стой! ­ кричит Мартышка. – Погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите» 4∙3∙2∙1 = 4! способов 14

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

II. Перестановки (2) • Перестановкой из п ­ элементов называется комбинации, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов permutation­ перестановка) • Рп­ число перестановок (Р первая буква французского слова Рп= n∙(n­1)∙(n­2)∙(n­3)∙(n­4)∙. . .∙3 ∙2 ∙1= n! Рп = n! В математике принято считать 0! =1 и 1! = 1 15

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Размещения (1) • Четыре попутчик решили обменяться визитными карточками. Сколько всего карточек при этом было использовано? 2 получилось 12 карточек. Каждый из четырёх попутчиков вручил визитку каждому из трёх попутчиков 4 ∙ 3 = 12 1 3 4 Комбинации, составленные из k элементов, взятых из n элементов, и отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов, называются размещениями из n элементов по k (0< k ≤n ). Ak n ­ размещение из n элементов по k элементов. А первая буква французского слова arrangement : «размещение», «приведение в порядок» 16

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Размещения (2) • Пуст имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В пустые ячейки можно по разному разместить три шара из этого набора. • Выбирая по­разному первый, второй и третий шары, будем получать различные упорядоченные тройки шаров a b c d b c a c b b a c • Каждая упорядоченная тройка, которую можно составить из четырёх элементов называется размещением из четырёх элементов по три nnAk  n   1 n   2 n   2  n .   k   1 . 17

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Размещения (3) • Сколько же размещений можно составить из 4­х элементов (abcd) по три? abc abd acb acd adb adc • • bac bad bca bcd bda bdc • cab cad cba cbd cda cdb • dab dac dba dbc dca dcb A 234 3 4 Р е ш е н о п е р е б о р о м в а р и а н т о в n n A  !n P n 18

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Размещения (4) • Можно решить и не выписывая самих размещений: • первый элемент можно выбрать четырьмя способами, так им может быть любой элемент из четырёх; • для каждого первого второй можно выбрать тремя способами; • для каждых первых двух можно двумя способами выбрать третий элемент из двух оставшихся. Получаем A3 4 = 4∙3∙2 = 24 Решено с использованием п р а в и л а у м н о ж е ни я 19

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Сочетания • Сочетанием из п элементов по k называют любое множество, составленное из k элементов, выбранных из п элементов   nn  1 Ck n     2 n kn.  321 k.  1   C k n  ! п   ! knk  ! В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значение порядок элементов. Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом 20

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Р е ш и з а д а ч и: 1. На плоскости отмечено 5 точек. Сколько получится отрезков, если соединить точки попарно? C 2 5  54321   (3! 21 ! 25! 2 ) ! 5    543  52  321 10 2. На окружности отмечено п точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? 3 C п  (! 3  п 321 ! п(  п ! 3)­  п() .  32(1321 2 п. ( 3  п()  3)) 1  п)  п(  1  п)  2 п()  321 21

Бойкова_АВ_Комбинаторные задачи

Источники информации 1. В.Ф.Бутузов, Ю.М.Колягин, Г.Л. Луканкин, Э.Г.Позняк и др. «Математика» учебное пособие для 11кл общеобразовательных учреждений /рекомендовано Министерством образования РФ/ М., Просвещение, 1996. 2. Е.А. Бунимович, В.А. Булычёв: «Вероятность и статистика», пособие для общеобразовательных учебных заведений 5 – 9 классы / допущено Министерством образования Российской Федерации // Дрофа Москва 2002 3. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей 7 – 9 классы» Под редакцией С.А.Теляковского М: Просвещение , 2006 г 22

Источник: znanio.ru